equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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O tensor tensão de Cauchy na mecânica do contínuo, representado universalmente pelo símbolo ${\displaystyle \mathit{�}}$, também chamado tensor tensão verdadeira^[1] ou simplesmente tensor tensão, denominado em memória de Augustin-Louis Cauchy, é um tensor tridimensional de segunda ordem, com nove componentes ${\displaystyle {�}_{��}}$, que define completamente o estado de tensão em um ponto no domínio de um corpo material em sua configuração deformada. O tensor relaciona um vetor diretor de comprimento unitário n com o vetor tensão T⁽ⁿ⁾ sobre uma superfície imaginária perpendicular a n,

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}=\mathbf{�}\cdot \mathit{�}\text{ou}{�}_{�}^{(�)}={�}_{��}{�}_{�}.}$

Em eletromagnetismo e em geometria diferencial, o tensor eletromagnético ou tensor campo eletromagnético (às vezes chamado de tensor de Faraday ou bivector de Maxwell) é um objeto matemático que descreve o campo eletromagnético de um sistema físico. O tensor de campo foi usado pela primeira vez após a formulação do tensor quadridimensional da relatividade especial e foi introduzido por Hermann Minkowski. O tensor permite que algumas leis físicas possam ser escritas de uma forma muito concisa.

Definição

O tensor electromagnético, convencionalmente marcado F, é definido como a derivada exterior do quadripotencial eletromagnético, A, um diferencial de forma 1:^[1][2]

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle �\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathrm{d}�.}$

Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético.^[1] O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Definição

Unidades do S.I.

No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:^[2]

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {�}^{��}=\frac{1}{{�}_0}\left[{�}^{��}{�}^{�}{}_{�}-\frac{1}{4}{�}^{��}{�}_{��}{�}^{��}\right].}$

onde ${\displaystyle {�}^{��}}$ é o tensor eletromagnético e onde ${\displaystyle {�}_{��}}$ é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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onde

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle \mathbf{�}=\frac{1}{{�}_0}\mathbf{�}\times \mathbf{�},}$

é o vetor de Poynting,

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {�}_{��}={�}_0{�}_{�}{�}_{�}+\frac{1}{{�}_0}{�}_{�}{�}_{�}-\frac{1}{2}\left({�}_0{�}^2+\frac{1}{{�}_0}{�}^2\right){�}_{��}}$

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, ${\displaystyle {�}^{��}}$ é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

Convenções de unidades C.G.S.

A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas [en] c.g.s. são:

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {�}_0=\frac{1}{4�},{�}_0=4�}$

então:

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {�}^{��}=\frac{1}{4�}\left[{�}^{��}{�}^{�}{}_{�}-\frac{1}{4}{�}^{��}{�}_{��}{�}^{��}\right].}$

e na forma de matriz explícita:

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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onde o vetor de Poynting se torna:

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle \mathbf{�}=\frac{�}{4�}\mathbf{�}\times \mathbf{�}.}$

O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.^[3]

O elemento ${\displaystyle {�}^{��}}$ do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético, ${\displaystyle {�}^{�}}$, passando por um hiperplano (${\displaystyle {�}^{�}}$ é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

Propriedades algébricas

O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:

• 
  
• É um tensor simétrico:
  $${\displaystyle {�}^{��}={�}^{��}}$$

  equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

  
  

  //////

  
• 
  
• O tensor ${\displaystyle {�}^{�}{}_{�}}$ não tem traços:
  $${\displaystyle {�}^{�}{}_{�}=0.}$$

  equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

  
  

  //////

  

Prova

Usando a forma explícita do tensor,

$${\displaystyle {�}_{�}^{�}=\frac{1}{4�}\left[{�}_{��}{�}^{��}{�}^{�}{}_{�}-{�}_{��}{�}^{��}\frac{1}{4}{�}^{��}{�}_{��}\right]}$$

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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Baixando os índices e usando o fato de que

${\displaystyle {�}^{��}{�}_{��}={�}_{�}^{�}}$

$${\displaystyle {�}_{�}^{�}=\frac{1}{4�}\left[{�}^{��}{�}_{��}-{�}_{�}^{�}\frac{1}{4}{�}^{��}{�}_{��}\right]}$$

Então, usando

${\displaystyle {�}_{�}^{�}=4}$,

$${\displaystyle {�}_{�}^{�}=\frac{1}{4�}\left[{�}^{��}{�}_{��}-{�}^{��}{�}_{��}\right]}$$

Observe que no primeiro termo, μ e α e apenas índices fictícios, então os renomeamos como α e β, respectivamente.

$${\displaystyle {�}_{�}^{�}=\frac{1}{4�}\left[{�}^{��}{�}_{��}-{�}^{��}{�}_{��}\right]=0}$$

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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$${\displaystyle {�}^{00}\ge 0}$$

A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral. O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz, então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton.^[4]

Leis de conservação

Ver artigo principal: Leis de conservação

O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{�}{�}^{��}+{�}^{��}{�}_{�}=0}$

onde ${\displaystyle {�}_{�}}$ é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria.

Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {�}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{{�}_0}{2}{�}^2+\frac{1}{2{�}_0}{�}^2}$

e densidade de momento eletromagnético

equação Graceli estatística  tensorial quântica de campos  1 /  /  G    /   G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

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${\displaystyle {\mathbf{�}}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{\mathbf{�}}{{�}^2}}$

onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ a densidade de carga elétrica e ${\displaystyle \mathbf{�}}$ é a densidade de força de Lorentz.